Prof. Tuinete Felix
Disciplina matematică
Clasa a X-a
1.Noţiuni, formule şi notaţii
Definiţia 1: Binomul de forma , unde a şi b sunt expresii numerice sau literale, iar n este un număr natural se numeşte binomul lui Newton.
Teoremă: Dacă a şi b sunt două numere reale (sau complexe) şi n este un număr natural, atunci are loc formula: , unde şi (1)
- Formula (1) se numeşte dezvoltarea binomului lui Newton după puteri sau formula lui Newton, sau dezvoltarea binomului lui Newton la putere.
- Pe scurt binomul lui Newton se scrie:
, unde (2)
Definiţia 2: Termenul (3) unde se numeşte termenul de rangul k+1 (sau termenul general) al binomului lui Newton.
Definiţia 3: Numerele se numesc coeficienţi binomiali ai dezvoltării binomului lui Newton.
2 Proprietăţi referitoare la binomul lui Newton
1) Binomul are în dezvoltarea sa n+1 termeni:
2) Binomul are în dezvoltarea sa n+1 coeficienţi binomiali:
, unde , .
3) În formula lui Newton coeficienţi binomiali egali depărtaţi de la extremităţi sunt egali: , unde .
4) Relaţia de recurenţă liniară (de ordinul întâi) între coeficienţi binomiali consecutivi ai dezvoltării binomului lui Newton este:
, unde (4)
5) În formula lui Newton exponenţii puterilor lui a descresc de la n până la 0, iar exponenţii puterilor lui b cresc de la 0 până la n.
6) În formula lui Newton suma coeficienţilor binomiali este egală cu :
, (5)
7) Suma coeficienţilor binomiali de rang impar (sau par) este egală cu :
- a) (6)
- b) (7)
8) Relaţia de recurenţă liniară (de ordinul întâi) între termenii consecutivi ai dezvoltării binomului lui Newton la putere este:
, unde (8)
9) Dacă n este par, adică , unde , atunci în dezvoltarea binomului lui Newton unicul termen de mijloc este:
(9)
10) Dacă n este par, adică , unde m, atunci în dezvoltarea binomului lui Newton coeficientul binomial al termenului de mijloc este cel mai mare şi este egal cu , iar binomul conţine un număr impar de termeni, adică binomul are termeni.
11) Dacă n este impar, adică , unde m, atunci dezvoltarea binomului lui Newton conţine doi termeni de mijloc, care au coeficienţii binomiali cei mai mari şi care sunt:
(10)
(11)
12) Dacă n este impar, adică , unde m, atunci dezvoltarea binomului lui Newton la putere conţine un număr par de termeni şi cei mai mari coeficienţi binomiali sunt coeficienţii binomiali ai termenilor de mijloc: şi .
13) Binomul se poate scrie =şi se foloseşte formula (38.1), substituind b prin (–b).
14) În binomul se poate aplica direct formula (12):
15) În binomul termenul de rangul k+1 (sau termenul general) al binomului lui Newton este:
, unde şi (13)
16) Pe scurt dezvoltarea binomului se scrie:
, unde (14)
17) Coeficienţii binomiali din dezvoltarea binomului satisfac relaţia: , pentru orice (15)
18) Coeficienţii binomiali din dezvoltarea binomului satisfac relaţia: , unde (16)
3 Triunghiul (aritmetic) al lui Pascal
- Triunghiul (aritmetic) al lui Pascal este triunghiul coeficienţilor binomiali în dezvoltarea la putere a binomului lui Newton .
- Coeficienţii binomiali sunt: , unde şi .
- Coeficienţii binomiali satisfac relaţia , unde (17)
- În triunghiul lui Pascal elementele (numerele) din linia următoare se pot determina folosind proprietatea:
Un element oarecare este egal cu suma dintre elementul de deasupra lui şi elementul din stânga acestuia.
- Liniile din triunghiul (aritmetic) al lui Pascal se completează folosind coeficienţii termenilor din formulele care urmează şi aplicând proprietatea (17) de mai sus.
………………………………….………………………………………………………………………………………
- Triunghiul (aritmetic) al lui Pascal se poate scrie în două forme (moduri):
1 1
1 1 1 1
1 2 1 1 2 1
1 3 3 1 1 3 3 1
1 4 6 4 1 1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1 1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1 1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1 1 7 21 35 35 21 7 1
…………………… ……………………………..………….
Remarcă: Pentru a completa şi memoriza triunghiul lui Pascal se aplică regula de calculare a elementelor lui:
Regulă: Oricare element al triunghiului lui Pascal (în afară de cei extremi care sunt egali cu 1) este egal cu suma a două elemente din rândul anterior (linia) dintre care unul este cel precedent, iar celălalt este cel următor.
Exemplul 1: Pentru determinarea coeficienţilor lui din linia a 6-a se adună câte doi coeficienţi ai lui din linia a 5-a:
Exemplul 2: Pentru avem:
4 Probleme de sinteză
Problema 1: Este dat binomul lui Newton .
Sarcini (să se îndeplinească următoarele sarcini):
S.1 Să se determine n, dacă se ştie, că suma coieficienţilor binomiali de rang par (impar) este egală cu 512;
Răspuns:
S.2 Să se determine numărul de termeni în dezvoltarea după puteri a binomului dat;
Răspuns: termeni.
S.3 Să se determine termenului de mijloc al binomului dat;
Răspuns:
S.4 Să se determine termenul de rang k+1 (termenul general) al binomului dat;
Răspuns:
S.5 Să se determine termenului ce nu-l conţine pe a în dezvoltarea după puteri a binomului dat;
Răspuns: Termenului ce nu-l conţine pe a este
S.6 Să se determine termenului ce-l conţine pe în dezvoltarea după puteri a binomului dat.
Răspuns:
Problema 2: Este dat binomul lui Newton .
Sarcini (să se îndeplinească următoarele sarcini):
S.1 Să se determine n, dacă se ştie, că suma coieficienţilor binomiali de rang par (impar) este egală cu 1024;
Răspuns: .
S.2 Să se determine numărul de termeni ai dezvoltării după puteri a binomului dat;
Răspuns: termeni.
S.3 Să se determine termenii de mijloc ai binomului dat;
Răspuns:
S.4 Să se determine termenul de rang k+1 (termenul general) al binomului dat;
Răspuns:
S.5 Să se determine termenului ce nu-l conţine pe a în dezvoltarea după puteri a binomului dat;
Răspuns:
S.6 Să se determine termenului ce-l conţine pe în dezvoltarea după puteri a binomului dat;
Răspuns:
S.7 Să se determine termenii raţionali ai dezvoltării după puteri a binomului dat.
Răspuns:
Problema 3: Este dat binomul lui Newton .
Sarcini (să se îndeplinească următoarele sarcini):
S.1 Să se determine termenul în care nu apare x în dezvoltarea după puteri a binomului dat;
Răspuns:
S.2 Să se determine termenul de mijloc al binomului dat;
Răspuns:
S.3 Să se determine termenul de rang k+1 (termenul general) al binomului dat;
Răspuns:
S.5 Să se determine termenului ce nu-l conţine pe x în dezvoltarea după puteri a binomului dat.
Răspuns:
Problema 4: Este dat binomul lui Newton .
S.1 Să se determine termenul de rang k+1 (termenul general) al binomului dat;
Răspuns:
S.2 Să se determine termenul din dezvoltarea după puteri a binomului dat în care x şi y au puteri egale.
Răspuns:
S.3 Să se determine termenii raţionali ai dezvoltării după puteri a binomului dat.
Răspuns:
Problema 5: Este dat binomul lui Newton .
S.1 Să se determine n, dacă se ştie, că suma coieficienţilor binomiali de rang par (impar) este egală cu 128;
Răspuns: .
S.2 Să se determine termenul de rang k+1 (termenul general) din dezvoltarea după puteri a binomului dat;
Răspuns:
S.3 Să se determine termenul de mijloc din dezvoltarea după puteri a binomului dat;
Răspuns: