Prof. Tuinete Felix

Disciplina matematică

Clasa a X-a

 

1.Noţiuni, formule şi notaţii

Definiţia 1: Binomul de forma , unde a şi b sunt expresii numerice sau literale, iar n este un număr natural se numeşte binomul lui Newton.

Teoremă: Dacă a şi b sunt două numere reale (sau complexe) şi n este un număr natural, atunci are loc formula: , unde  şi                                  (1)

  • Formula (1) se numeşte dezvoltarea binomului lui Newton după puteri sau formula lui Newton, sau dezvoltarea binomului lui Newton la putere.
  • Pe scurt binomul lui Newton se scrie:

, unde                                                              (2)

Definiţia 2: Termenul                                               (3) unde se numeşte termenul de rangul k+1 (sau termenul general) al binomului lui Newton.

Definiţia 3: Numerele  se numesc coeficienţi binomiali ai dezvoltării binomului lui Newton.

2  Proprietăţi referitoare la binomul lui Newton

1)  Binomul  are în dezvoltarea sa n+1 termeni:

2)  Binomul are în dezvoltarea sa n+1 coeficienţi binomiali:

, unde ,  .

3)  În formula lui Newton coeficienţi binomiali egali depărtaţi de la extremităţi sunt egali: , unde  .

4)  Relaţia de recurenţă liniară (de ordinul întâi) între coeficienţi binomiali consecutivi ai dezvoltării binomului lui Newton este:

, unde                                       (4)

5)  În formula lui Newton exponenţii puterilor lui a descresc de la n până la 0, iar exponenţii puterilor lui b cresc de la 0 până la n.

6)  În formula lui Newton suma coeficienţilor binomiali este egală cu :

,                                  (5)

7)  Suma coeficienţilor binomiali de rang impar (sau par) este egală cu :

  1. a)                                    (6)
  2. b)                                  (7)

8)  Relaţia de recurenţă liniară (de ordinul întâi) între termenii consecutivi ai dezvoltării binomului lui Newton la putere este:

, unde                                  (8)

9)  Dacă n este par, adică , unde , atunci în dezvoltarea binomului lui Newton unicul termen de mijloc este:

(9)

10)  Dacă n este par, adică , unde m, atunci în dezvoltarea binomului lui Newton coeficientul binomial al termenului de mijloc este cel mai mare şi este egal cu , iar binomul conţine un număr impar de termeni, adică binomul are termeni.

11)  Dacă n este impar, adică , unde m, atunci dezvoltarea binomului lui Newton conţine doi termeni de mijloc, care au coeficienţii binomiali cei mai mari şi care sunt:

(10)

(11)

12)  Dacă n este impar, adică , unde m, atunci dezvoltarea binomului lui Newton la putere conţine un număr par  de termeni şi cei mai mari coeficienţi binomiali sunt coeficienţii binomiali ai termenilor de mijloc: şi .

13)  Binomul  se poate scrie =şi se foloseşte formula (38.1), substituind b prin (–b).

14)  În binomul  se poate aplica direct formula (12):

15)  În binomul  termenul de rangul k+1 (sau termenul general) al binomului lui Newton este:

, unde şi                             (13)

16)  Pe scurt dezvoltarea binomului  se scrie:

, unde                                       (14)

17) Coeficienţii binomiali din dezvoltarea binomului  satisfac relaţia: , pentru orice           (15)

18) Coeficienţii binomiali din dezvoltarea binomului  satisfac relaţia: , unde                                            (16)

 

3  Triunghiul (aritmetic) al lui Pascal

  • Triunghiul (aritmetic) al lui Pascal este triunghiul coeficienţilor binomiali în dezvoltarea la putere a binomului lui Newton .
  • Coeficienţii binomiali sunt: , unde şi .
  • Coeficienţii binomiali satisfac relaţia , unde                      (17)
  • În triunghiul lui Pascal elementele (numerele) din linia următoare se pot determina folosind proprietatea:

Un element oarecare este egal cu suma dintre elementul de deasupra lui şi elementul din stânga acestuia.

  • Liniile din triunghiul (aritmetic) al lui Pascal se completează folosind coeficienţii termenilor din formulele care urmează şi aplicând proprietatea (17) de mai sus.

………………………………….………………………………………………………………………………………

  • Triunghiul (aritmetic) al lui Pascal se poate scrie în două forme (moduri):

1                                                                              1

1   1                                                                      1      1

1   2   1                                                              1      2      1

1   3   3    1                                                      1    3      3     1

1   4   6    4     1                                            1    4     6      4    1

1   5   10  10   5    1                                   1   5    10    10    5    1

1   6   15  20   15  6    1                          1   6   15    20    15    6    1

1   7   21  35   35  21  7   1                  1  7   21   35    35    21   7    1

  ……………………                            ……………………………..………….

Remarcă: Pentru a completa şi memoriza triunghiul lui Pascal  se aplică regula de calculare a elementelor lui:

Regulă: Oricare element al triunghiului lui Pascal (în afară de cei extremi care sunt egali cu 1) este egal cu suma a două elemente din rândul anterior (linia) dintre care unul este cel precedent, iar celălalt este cel următor.

 

Exemplul 1: Pentru determinarea coeficienţilor lui din linia a 6-a se adună câte doi coeficienţi ai lui din linia a 5-a:

Exemplul 2: Pentru avem:

 

4 Probleme de sinteză

Problema 1: Este dat binomul lui Newton .

 

Sarcini (să se îndeplinească următoarele sarcini):

S.1  Să se determine n, dacă se ştie, că suma coieficienţilor binomiali de rang par (impar) este egală cu 512;

       Răspuns:

S.2  Să se determine numărul de termeni în dezvoltarea după puteri a binomului dat;

       Răspuns:  termeni.

S.3 Să se determine termenului de mijloc al binomului dat;

      Răspuns:

S.4 Să se determine termenul de rang  k+1 (termenul general) al binomului dat;

Răspuns:

S.5 Să se determine termenului ce nu-l conţine pe a în dezvoltarea după puteri a binomului dat;

       Răspuns: Termenului ce nu-l conţine pe a este

S.6 Să se determine termenului ce-l conţine pe  în dezvoltarea după puteri a binomului dat.

       Răspuns:

 

Problema 2: Este dat binomul lui Newton .

Sarcini (să se îndeplinească următoarele sarcini):

 

S.1  Să se determine n, dacă se ştie, că suma coieficienţilor binomiali de rang par (impar) este egală cu 1024;

       Răspuns: .

S.2  Să se determine numărul de termeni ai dezvoltării după puteri a binomului dat;

       Răspuns:  termeni.

S.3 Să se determine termenii de mijloc ai binomului dat;

       Răspuns:

S.4 Să se determine termenul de rang  k+1 (termenul general) al binomului dat;

       Răspuns:

S.5 Să se determine termenului ce nu-l conţine pe a în dezvoltarea după puteri a binomului dat;

       Răspuns:

S.6 Să se determine termenului ce-l conţine pe  în dezvoltarea după puteri a binomului dat;

       Răspuns:

S.7 Să se determine termenii raţionali ai dezvoltării după puteri a binomului dat.

       Răspuns:

Problema 3: Este dat binomul lui Newton .

Sarcini (să se îndeplinească următoarele sarcini):

 

S.1  Să se determine termenul în care nu apare x în dezvoltarea după puteri a binomului dat;

Răspuns:

S.2 Să se determine termenul de mijloc al binomului dat;

       Răspuns:

S.3 Să se determine termenul de rang  k+1 (termenul general) al binomului dat;

       Răspuns:

S.5 Să se determine termenului ce nu-l conţine pe x în dezvoltarea după puteri a binomului dat.

Răspuns:

Problema 4: Este dat binomul lui Newton .

S.1 Să se determine termenul de rang  k+1 (termenul general) al binomului dat;

      Răspuns:

S.2 Să se determine termenul din dezvoltarea după puteri a binomului dat în care x şi y au puteri egale.

      Răspuns:

S.3 Să se determine termenii raţionali ai dezvoltării după puteri a binomului dat.

      Răspuns:

 

Problema 5: Este dat binomul lui Newton .

S.1  Să se determine n, dacă se ştie, că suma coieficienţilor binomiali de rang par (impar) este egală cu 128;

       Răspuns: .

S.2 Să se determine termenul de rang  k+1 (termenul general) din dezvoltarea după puteri a binomului dat;

       Răspuns:

S.3 Să se determine termenul de mijloc din dezvoltarea după puteri a binomului dat;

       Răspuns: