Prof. Tuinete Felix
Disciplina matematică
Clasa a X-a
1.Noţiuni, formule şi notaţii
Definiţia 1: Binomul de forma , unde a şi b sunt expresii numerice sau literale, iar n este un număr natural se numeşte binomul lui Newton.
Teoremă: Dacă a şi b sunt două numere reale (sau complexe) şi n este un număr natural, atunci are loc formula: , unde şi (1)
- Formula (1) se numeşte dezvoltarea binomului lui Newton după puteri sau formula lui Newton, sau dezvoltarea binomului lui Newton la putere.
- Pe scurt binomul lui Newton se scrie:
, unde (2)
Definiţia 2: Termenul (3) unde se numeşte termenul de rangul k+1 (sau termenul general) al binomului lui Newton.
Definiţia 3: Numerele se numesc coeficienţi binomiali ai dezvoltării binomului lui Newton.
2 Proprietăţi referitoare la binomul lui Newton
1) Binomul are în dezvoltarea sa n+1 termeni:
2) Binomul are în dezvoltarea sa n+1 coeficienţi binomiali:
, unde , .
3) În formula lui Newton coeficienţi binomiali egali depărtaţi de la extremităţi sunt egali: , unde .
4) Relaţia de recurenţă liniară (de ordinul întâi) între coeficienţi binomiali consecutivi ai dezvoltării binomului lui Newton este:
, unde (4)
5) În formula lui Newton exponenţii puterilor lui a descresc de la n până la 0, iar exponenţii puterilor lui b cresc de la 0 până la n.
6) În formula lui Newton suma coeficienţilor binomiali este egală cu :
, (5)
7) Suma coeficienţilor binomiali de rang impar (sau par) este egală cu :
- a) (6)
- b) (7)
8) Relaţia de recurenţă liniară (de ordinul întâi) între termenii consecutivi ai dezvoltării binomului lui Newton la putere este:
, unde (8)
9) Dacă n este par, adică , unde , atunci în dezvoltarea binomului lui Newton unicul termen de mijloc este:
(9)
10) Dacă n este par, adică , unde m, atunci în dezvoltarea binomului lui Newton coeficientul binomial al termenului de mijloc este cel mai mare şi este egal cu , iar binomul conţine un număr impar de termeni, adică binomul are termeni.
11) Dacă n este impar, adică , unde m, atunci dezvoltarea binomului lui Newton conţine doi termeni de mijloc, care au coeficienţii binomiali cei mai mari şi care sunt:
(10)
(11)
12) Dacă n este impar, adică , unde m, atunci dezvoltarea binomului lui Newton la putere conţine un număr par de termeni şi cei mai mari coeficienţi binomiali sunt coeficienţii binomiali ai termenilor de mijloc: şi .
13) Binomul se poate scrie =şi se foloseşte formula (38.1), substituind b prin (–b).
14) În binomul se poate aplica direct formula (12):
15) În binomul termenul de rangul k+1 (sau termenul general) al binomului lui Newton este:
, unde şi (13)
16) Pe scurt dezvoltarea binomului se scrie:
, unde (14)
17) Coeficienţii binomiali din dezvoltarea binomului satisfac relaţia: , pentru orice (15)
18) Coeficienţii binomiali din dezvoltarea binomului satisfac relaţia: , unde (16)