Prof. Tuinete Felix

Disciplina matematică

Clasa a X-a 

1.Noţiuni, formule şi notaţii

Definiţia 1: Binomul de forma , unde a şi b sunt expresii numerice sau literale, iar n este un număr natural se numeşte binomul lui Newton.

Teoremă: Dacă a şi b sunt două numere reale (sau complexe) şi n este un număr natural, atunci are loc formula: , unde  şi                          (1)

  • Formula (1) se numeşte dezvoltarea binomului lui Newton după puteri sau formula lui Newton, sau dezvoltarea binomului lui Newton la putere.
  • Pe scurt binomul lui Newton se scrie:

, unde                                                (2)

Definiţia 2: Termenul                               (3) unde se numeşte termenul de rangul k+1 (sau termenul general) al binomului lui Newton.

Definiţia 3: Numerele  se numesc coeficienţi binomiali ai dezvoltării binomului lui Newton.

 

2  Proprietăţi referitoare la binomul lui Newton

1)  Binomul  are în dezvoltarea sa n+1 termeni:  

2)  Binomul are în dezvoltarea sa n+1 coeficienţi binomiali:

, unde ,  .

3)  În formula lui Newton coeficienţi binomiali egali depărtaţi de la extremităţi sunt egali: , unde  .

4)  Relaţia de recurenţă liniară (de ordinul întâi) între coeficienţi binomiali consecutivi ai dezvoltării binomului lui Newton este:

, unde                                       (4)

5)  În formula lui Newton exponenţii puterilor lui a descresc de la n până la 0, iar exponenţii puterilor lui b cresc de la 0 până la n.

6)  În formula lui Newton suma coeficienţilor binomiali este egală cu :

,                           (5)

7)  Suma coeficienţilor binomiali de rang impar (sau par) este egală cu :

  1. a)                            (6)
  2. b)                          (7)

8)  Relaţia de recurenţă liniară (de ordinul întâi) între termenii consecutivi ai dezvoltării binomului lui Newton la putere este:

, unde                         (8)

9)  Dacă n este par, adică , unde , atunci în dezvoltarea binomului lui Newton unicul termen de mijloc este:

                                                (9)

10)  Dacă n este par, adică , unde m, atunci în dezvoltarea binomului lui Newton coeficientul binomial al termenului de mijloc este cel mai mare şi este egal cu , iar binomul conţine un număr impar de termeni, adică binomul are termeni.

11)  Dacă n este impar, adică , unde m, atunci dezvoltarea binomului lui Newton conţine doi termeni de mijloc, care au coeficienţii binomiali cei mai mari şi care sunt:

                                             (10)

                                       (11)

12)  Dacă n este impar, adică , unde m, atunci dezvoltarea binomului lui Newton la putere conţine un număr par  de termeni şi cei mai mari coeficienţi binomiali sunt coeficienţii binomiali ai termenilor de mijloc: şi .

13)  Binomul  se poate scrie =şi se foloseşte formula (38.1), substituind b prin (–b).

14)  În binomul  se poate aplica direct formula (12):

15)  În binomul  termenul de rangul k+1 (sau termenul general) al binomului lui Newton este:

, unde şi                               (13)

16)  Pe scurt dezvoltarea binomului  se scrie:

, unde                                       (14)

17) Coeficienţii binomiali din dezvoltarea binomului  satisfac relaţia: , pentru orice      (15)

18) Coeficienţii binomiali din dezvoltarea binomului  satisfac relaţia: , unde                                 (16)